Ejercicio 1
Don Augusto es una marca de bebidas hogareñas en auge. Se sabe que 3/16 de los ingresos totales del año pasado de Don Augusto provienen de su bebida de chocolate Don Augusto, mientras que un 10% de los ingresos totales vino de su café de olla Don Augusto. Del reto de los ingresos totales, solo 1/6 provino de su nueva marca de Tés organicos Don Augusto. El año pasado, los ingresos por las ventas de los tés orgánicos Don Augusto fueron de $37,406.25. ¿Cuáles fueron los ingresos totales de Don Augusto?
Pasamos las ventas del chocolate a porcentaje, y las ventas del té en forma de ecuación
Ahora sabemos que:
Entonces calculando las ventas del té:
Ahora sabemos que:
Ya sabemos el porcentaje del de ventas del Té y sus ventas en pesos, con estos datos podemos hacer una regla de 3 y determinar el total de ventas.
Las ventas totales fueron de $267,985.7146
Ejercicio 2
Dos personas forman una sociedad de inversión llamada La Compañía Inglesa, aportando cada uno $4,000 de capital. Al cabo de un año ingresa un tercer socio con el mismo capital. Dos años después de ingresar el tercer socio, ingresa un cuarto socio que aporta también $4,000. A los 6 años de su fundación, la sociedad se liquida, teniendo un beneficio a repartir de $11,000. ¿Cuánto corresponde a cada uno si el dinero se reparte proporcionalmente a los años de antigüedad de cada uno de los 4 socios?
Ejercicio 3
Zoé comercializa una nueva bebida compuesta por agua y jarabe de uva a partir de otras dos versiones previas: La versión “Freska” y la versión “Nova”, cada una compuesta por un porcentaje de jarabe de uva distinto. La nueva versión “Star” estará en una presentación de 800ml. Si se compone por 400ml de “Freska” y 240ml de “Nova”, tendrá un 27.5% de jarabe de uva. ¿Cuál es el porcentje de jarabe de uva de las versiones “Freska” y “Nova”?
A partir del enunciado del problema podemos deducir las ecuaciones, pero debemos sacar la cantidad de jarabe de uva dentro de cada mezcla, para eso es la regla de 3.
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Entonces las ecuaciones quedan de la siguiente forma:
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Ya podemos desarrollar un sistema de ecuaciones de 2 x 2
Despejando x de la Ecuación 1
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Sustituyendo x en la Ecuación 2
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Sustituimos y en el despeje que hicimos de x
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Ejercicio 4
Kiki lleva tres maletas en su viaje a Monterrey, una negra, una rosa, y una morada. La maleta negra pesa un 40% más que la rosa, mientras que la morada pesa 30% menos que la rosa. El peso combinado de las maletas es de 46.5kg. ¿Cuánto pesa cada maleta?
Ejercicio 5
La compañía “Hextech” está probando dos nuevos modelos de vehículos que lanzará al mercado. Estos modelos son el correcaminos y el relámpago, ambos caracterizados por ser modelos rápidos, ágiles y con un rendimiento deseable de combustible. El relámpago posee un tanque de 72 litros mientras que el correcaminos tiene un tanque de 60 litros.
Después de varias pruebas, fue posible hacer un gráfico que muestre la relación entre la cantidad de kilómetros (x) que recorren y la cantidad de litros (L) que quedan en el tanque dependiendo de cuantos kilómetros ha recorrido cada modelo de automóvil. Esto se resume en el grafico siguiente:
A partir de la información que se observa en la gráfica, responde lo siguiente.
a) Suponiendo que cada modelo tiene el tanque lleno, ¿Con cuál de los dos modelos se podrá recorrer una mayor distancia?
Con el modelo del correcaminos que recorre una distancia de 240 Km contra los 180 que recorre el otro modelo.
b) Durante una prueba, ambos vehículos terminaron con 20 litros en su tanque. ¿Cuánto recorrió el correcaminos? ¿Y el relámpago?
Según la gráfica, cuando al modelo relámpago termino con 20 litros recorrió 130 Km, y el modelo correcaminos recorrió 160Km.
c) ¿Es posible que ambos vehículos recorran una misma distancia y además terminen con la misma cantidad de gasolina en el tanque? Si tu respuesta es no, explica. Si tu respuesta es sí, ¿Cuál es esa distancia y con cuántos litros se quedaron en el tanque?
Sí, en el punto C (80,40) donde se interceptan las rectas ambos vehículos tienen la misma cantidad de combustible (40 Litros) y además han recorrido la misma distancia (80 Kilómetros).
d) Calcula el rendimiento por litro de cada uno de los vehículos. Es decir, ¿Cuántos litros de gasolina son consumidos por el correcaminos cada vez que se avanza un kilómetro? ¿y por el relámpago? Explica tu razonamiento.
Según el grafico dice que el correcaminos con un tanque lleno de 60 L recorre 240 Km, dividiendo entre 60 tenemos que con un litro se recorren 4 Km.
Por otro lado, para el relámpago con un tanque lleno de 72 L recorre 180 Km, dividiendo entre 72 tenemos que con un litro se recorren 2.5 km.
e) En promedio, una persona viaja 2.5 Km de su casa al trabajo en la ciudad de Zaun, cuna de la compañía Hextech. ¿Cuántos litros de gasolina consumirían cada uno de los dos modelos en dicho viaje?
Para el modelo relámpago no hay que hacer operación alguna ya que su rendimiento de combustible es de 2.5 Km por litro, por lo que se gastará un litro de combustible en ese trayecto.
Para el modelo correcaminos hay que hacer una regla de 3:
Entonces el modelo correcaminos gastaría 0.625 Litros en recorrer 2.5 Km.
f) Según datos del departamento de mercado, el relámpago rinde mejor al recorrer distancias cortas a gran velocidad. Esto indica que, en promedio, los conductores del relámpago recorrerían 30 kilómetros a la semana.
1) ¿Cuántos litros consume por semana el relámpago en este caso?
2) Supón que la gasolina está en $18 el litro. ¿Cuál es el gasto que implica el uso del relámpago de 30 kilómetros por semana?
Ya sabemos que el relámpago consume 1 L por cada 2.5Km, para saber cuantos litros consumiria en 30 Kilómetros se hace una regla de 3.
El relámpago consumiria 12 L por semana.
g) En contraparte, los datos del departamento de mercado sugieren que el correcaminos se utilizará en grandes ciudades, pues posee un modelo compacto y rendidor. Se estima que a las semana sus usuarios recorrerán 60 Km.
1) ¿Cuántos litros consume por semana el correcaminos en este caso?
2) Asumiendo el precio de la gasolina en $18 el litro. ¿Cuál es el gasto que implica este uso del correcaminos de 100 Km por semana?
Ya sabemos que el consumo del correcaminos es de un litro por 4 Km, entonces para saber cuántos litros se consumirían por 60 Km hacemos una regla de 3.
El consumo del correcaminos por 60 Km seria de 15 Litros.
Para el segundo punto, primero hay que calcular el consumo por los 100 Km, de igual forma con una regla de 3.
Ya que conocemos que se consumirían 100 litros, lo multiplicamos por el precio de la gasolina que es de $18 por litro.
Adicional (+ 0.2 puntos): Establece la función litros-kilómetros sobre la relación de la distancia recorrida y la cantidad de gasolina que queda en el tanque para cada uno de los dos modelos.
Ejercicio 6
Arte en velas
Serenity y Téa tienen un negocio de velas-escultura miniatura. Para producir las velas, deben alquilar los servicios de una fábrica. Para ello, tienen dos opciones: La fábrica Industrias Faraón y la fábrica corporación Yami.
Para cada lote de velas que Serenity y Téa quieran encargar, industrias Faraón les cobrará un costo fijo para cubrir el mantenimiento de las instalaciones y, además, un precio adicional por cada pieza que deseen que les produzcan. Por otra parte, Corporación Yami solamente les cobrará en función del número de velas que deseen, es decir, sin costos fijos. No obstante, el precio por cada pieza producida es considerablemente mayor.
En la siguiente tabla se observa una comparación de los costos por producir cierta cantidad de velas:
a) Obtén analíticamente la función F(v) para la relación entre el número de velas encargadas (v) y el costo resultante si se solicitan los servicios de industrias Faraón (F).
b) Haz lo mismo que el inciso anterior, pero ahora si se consideran los servicios de corporcion Yami ( C), es decir C(v).
c) Téa y Serenity desean iniciar con un lote pequeño, de solo 100 velas. ¿Cuál de los dos servicios deberían contratar? ¿Industrias Faraón o Corporación Yami?
Un lote de 100 velas sale mas barato con la Corporación Yami
d) Calcula lo siguiente:
1) F (140)
2) C (150)
3) F (0)
e) Realiza un bosquejo de la gráfica asociada a cada función, en un mismo eje coordenado.
f) Para cierto lote, Téa y Serenity se dispusieron como limite gastar $1260 como costo de producción. Calcula para cuantas velas les alcanzaría para cada uno de los dos servicios con la finalidad de decidir con cual compañía es mas conveniente producir ese lote.
Si se realiza el pedido con industrias faraón es ligeramente mas conveniente, ya que por la misma cantidad de dinero ($1260) tendrán 10 piezas más.
g) ¿Existirá un numero de velas para el cual Téa y Serenity paguen la misma cantidad al solicitar cualquiera de los servicios de Industrias Faraón o Corporacion Yami? Si tu respuesta es no, ¿Por qué? Si tu respuesta es si, muestra la manera de obtener ese valor.
Si.
El valor ya se ve reflejado en la gráfica, pero para calcularlo matemáticamente seria de la siguiente manera:
Sustituyendo Ecuación 2 en la Ecuación 1
